쌍곡선 적분 함수

1. 개요2. 관련 문서

1. 개요 [편집]

특수함수의 하나로, 각각

\mathrm{Shi}(x)

,

\mathrm{Chi}(x)

로 표기하며, 정의는 다음과 같다.

\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{Shi}(x)&\equiv \int_{0}^{x}\frac{\sinh{t}}{t}\,\mathrm{d}t \\ \mathrm{Chi}(x) &\equiv \gamma+\ln x+\int_{0}^{x}\frac{\cosh{t}-1}{t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}

유독 쌍곡 코사인 적분의 정의에 오일러-마스케로니 상수

\gamma

와 자연로그가 붙어 있는데, 쌍곡 코사인 함수가 특이한 녀석이라서 그런 듯하다.[1][2]

각 함수의 그래프는 아래와 같다.

파일:나무_쌍곡선 적분 함수_그래프.png

친척인 삼각 적분 함수와 마찬가지로

\mathrm{sinh}

,

\mathrm{cosh}

만 적분이 정의되고 그 외의 쌍곡선 함수에서는 정의되지 않는다. 이에

{\mathrm{Shi}(x)}/{\mathrm{Chi}(x)}

로 쌍곡 탄젠트 적분 함수를 만들 수 없는 것도 같다.

둘 다 대칭함수이다.

\mathrm{Shi}(x)

는 홀함수, 실수부를 취한

\Re(\mathrm{Chi}(x))

는 짝함수이다.[3]

[1] 더 정확히 얘기하면 그대로 적분해서는 답이 안 나오니 부분적분을 한 것이다. 그냥

\dfrac{\cosh x}{x}

를 0부터 적분하면 발산하니

x^{-1}

를 빼고 그 부정적분인 로그를 더한뒤, 어차피 큰 의미 없는 상수를 더했다고 보면 이해가 편하다.[2] 참고로

\text{Chi}(x) \approx \displaystyle \int_{0.5238}^x \frac{\cosh x}{x} \text{d}x

이다.[3] 실수부를 취하지 않을 경우

x<0

범위에서

\mathrm{Chi}(x)=\Re(\mathrm{Chi}(x))+i\pi

이므로 짝함수가 아니다.